## Simple Harmonic Motion

We know that when a body moves to and fro about its mean position along a fixed axis, with equal intervals of time, its motion is known as vibratory motion e.g., the motion of pendulum, mass attached to a spring, the motion of cardboard pieces along with the water wave’s etc. Simple harmonic motion is a vibratory motion which can be explained by the following examples.

Mass Attached to a Spring To explain the simple harmonic motion, consider the motion of a mass attached with a spring. As shown in fig. 12.3, a spring is placed on a smooth and horizontal surface. Its one end is attached to a firm support and a mass ‘m’ is attached to its other end (fig. 12.3-a). There is no extension in the spring in this state. Such a state or position of a mass is called its equilibrium position. If an external force F ext is exerted on the mass towards right, the length of the spring increases by an amount x, and the mass moves from its initial position O to position A. according to hook’s law, the external force F ext acting on the spring is directly proportional to the increase in length x of the spring i.e.,

F ext oc x

Or                                            F ext = kx                     …………. (12.1)

Here k is a constant, which is called the spring constant. The value of k can be obtained from Eq. 12. 1 as.

K = F ext /x

The ratio of the external force acting on a spring to the increase in its length is called the spring constant. Its unit is Nm-1.

Under the influence of the external force, the length of the spring increases. After releasing this force, spring moves towards its equilibrium position. This motion of the spring is due to the restoring force (Fig. 12.3-b), which is a characteristic of the spring. During the motion if the displacement of the mass m is x then restoring force will be:

F = -kx                                                …………….               (12.2)

If now the mass m is let free, it starts moving towards the point O. using Newton’s second law, the acceleration a of the mass m can be found out as:

A = f/m = -kx/m                                  ………..       (12.3)

Since k/m is a constant, therefore

A oc -x

This means that the acceleration of the body is directly proportional to its displacement x from the mean position O and is always directed towards the mean position O. as the mass ‘m’ moves towards the point O its displacement x goes on decreasing. Resultantly, the acceleration a of the body also decreases. On reaching the point the point O, x becomes zero and so the acceleration a of the mass m also reduces to zero. But it may be noted that its velocity is maximum at this point. Due to inertia, the mass m does not stop at the point O but continues its motion towards left till it reaches the point A. during this motion, the spring is now compressed. Now the restoring force and the acceleration due to it, are opposite to the motion of the mass m. this means that the acceleration of the mass m again starts decreasing as it passes the point O and finally becomes zero as it reaches the point A. after coming to rest at the point a the body again returns to the point O under the action of the restoring force. This process continues and the body m keeps on vibrating between the points a and A: the motion of a mass attached to a spring is known as simple harmonic motion.

Mathematically, it can be proved that the time period t of the simple harmonic motion of a mass attached to a spring can be given by the following equation:

T=2π …………………… (12.4)

## Momentum

### Momentum

The sports announcer says, “Going into the all-star break, the Chicago White Sox have the momentum.” The headlines declare “Chicago Bulls Gaining Momentum.” The coach pumps up his team at half-time, saying “You have the momentum; the critical need is that you use that momentum and bury them in this third quarter.”

Momentum is a commonly used term in sports. A team that has the momentum is on the move and is going to take some effort to stop. A team that has a lot of momentum is really on the move and is going to be hard to stop. Momentum is a physics term; it refers to the quantity of motion that an object has. A sports team that is on the move has the momentum. If an object is in motion (on the move) then it has momentum. เพิ่มเติม

## Power

Power

Power is the rate at which work is done. Its nice to know that work is being done, but it is better to know how quickly it is being done. The formula for power is:     ## Energy

the ability to do work

I’m gunna warn you right now, energy is a very abstract concept. Some times it seems like the guys who invented this stuff were just pulling it out of their ass. Maybe they did, but the bottom line is, energy is a very valuable tool. It can get you past some problems that there is no way to solve with any other method. However if your like most people and don’t give a damn how handy it is, just keep in mind your teacher is going to test you on this. So let’s get through it together. Energy is everywhere. You use electromagnetic energy to power your N64 and you use chemical energy to light a joint. We also used nuclear energy to give Chernobyl that pretty green glow. There are tons of different kinds of energy. Fortunately we only need to talk about one right now. Mechanical energy. Mechanical energy deals with things in motion. Like all energy, it comes in two forms, kinetic and potential. Kinetic energy is the energy an object has because of its motion. Potential energy is the energy an object has because of its position. Let’s get into the details.

## Work

### You’re not going to get paid for this

In your everyday life, the word work had many meanings. After school you go to work, where you do as little as possible, work that is. Then you go home and study. Which is hard work! The phone rings, it’s your girlfriend who wants to work out some problems you two have been having. Lots of different work. Lots of different meanings.

Physics, in its classic, no nonsense style, disregards all of that. In physics work means one, and only one thing. The work done on an object is equal to how hard you push it (the force F) times how far you push it (s)    There are two interesting things about this. Well, not really interesting, but worth noting. Pushing the dead body of Howard Hues down the street and pushing a feather from here to Hong Kong can involve the same amount of work. Pushing a heavy object a short distance, and pushing a small object a great distance, involve exactly the same amount of work as far as physics is concerned. The other interesting thing is if you can’t move something, no matter how hard or how long you try, you aren’t doing work. You could try to move the Empire State Building until you collapsed of famine, and you would never have done any work on it. This is because 0 distance times any amount of force is always going to be zero work. Just so you know, work and energy are measured in joules (J). Joule (not the singer) interestingly enough, was a physicist and a beer brewer. A joule can also be written as a Nm (Newton times meter). # Simple Harmonic Motion — background material

Simple harmonic motion (SHM) — some examples. The first animation is a cartoon describing aspects of one state of the quantum mechanical wave function of a ‘an electron in a box’ — an electron in a two dimensional potential well with infinite walls. For a small amplitude oscillation, a pendulum is a simple hamonic oscillator. Loudspeakers can reproduce single SHM, which is not very interesting, or combinations of of SHM, from which we can make any sound.

### Simple harmonic motion as a projection of uniform circular motion

• y  =  r sin θ  =  r sin ωt

–> Here we see that the vertical component of uniform circular motion is SHM. For uniform circular motion with θ = ωt and radius r, the vertical component is

### Displacement, velocity and acceleration in simple harmonic motion

• y  =  A sin ωt       so
v

y

=  dy/dt  =  Aω cos ωt       and
a

y

=  dv

y

/dt  =  − Aω

2

cos ωt .

–> In the animation above, the purple curve is the displacement y as a funciton of t, ie y(t). The red tangent shows its slope, which is dy/dt, the velocity vy, which is shown in the next graph. On that graph, the blue tangent shows the slope dvy/dt, which is the vertical acceleration ay., which is shown in the third graph. (Revise calculus)

Let’s look at how vy and ay depend on ω. For SHM with amplitude A, let’s write

These are plotted below, for two different values of ω: in the faint version ω is doubled. Displacement, velocity and acceleration graphs for SHMIf we double ω we double the number of cycles per unit time, so we cover twice as much distance in the same time — vy is doubled. Similarly, the acceleration goes through twice as many cycles in the same time. But more than that, the acceleration involves velocities that are twice as large, so ay is four times greater.

### Chladni patterns as examples of simple harmonic motion

Experimental set up for Chladni patterns

In Chladni patterns, points in an object undergo SHM with varying amplitudes. Small particles (sand in this case) collect at the nodes, ie along lines where the amplitude of SHM is small.

## การเคลื่อนที่แบบวงกลม

วัตถุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง แสดงว่ามีแรงกระทำในทิศแนวเดียวกับการเคลื่อนที่ไม่ว่าจะมีทิศทางเดียวกัน หรือตรงกันข้ามผลจะทำให้การเคลื่อนที่นั้นเคลื่อนที่เร็วขึ้นหรือช้าลง โดยแนวการเคลื่อนที่จะอยู่ในแนวเดิม ( เส้นตรง )

วัตถุจะเคลื่อนที่เป็นแนวโค้งแบบโพรเจกไทล์ เมื่อมีแรงกระทำต่อวัตถุนั้นในแนวทำมุมใดๆกับการเคลื่อนที่ตลอดเวลา

แต่ถ้าวัตถุใดมีแรงกระทำต่อวัตถุนั้นในทิศทำมุม 90 องศากับทิศการเคลื่อนที่นั้น ผลจะทำให้วัตถุนั้นเคลื่อนที่เป็นแนวโค้งแบบวงกลม วัตถุที่ถูกผูกด้วยเชือกแกว่งให้เคลื่อนที่เป็นวงกลม เราจะต้องออกแรงดึงเชือกไว้คลอดเวลา แรงนี้จะมีทิศเข้าสู่ศูนย์กลางคือตำแหน่งที่เราจับเชือกไว้    หรือ การขับรถจักรยานยนต์ไต่ถังเป็นวงกลม จะมีแรงจากผนังกระทำต่อรถจักรยานยนต์ตลอดเวลาในทิศตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ และแรงจากผนังที่กระทำต่อรถจักรยานยนต์จะมีทิศเข้าสู่ศูนย์กลาง จึงเรียกแรงนี้ว่าแรงสู่ศูนย์กลาง   ( Fc ) ดังรูป 1. รูป 1.  วัตถุที่ถูกแกว่งเป็นวงกลม  และ รถจักรยายนต์ไต่ถัง

จากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 2  ของนิวตัน  วัตถุจะเปลี่ยนไปจากสภาพเดิม เมื่อมีแรงที่ไม่เท่ากับศูนย์มากระทำ   แสดงว่าแรงลัพธ์ที่มากระทำต่อวัตถุที่เคลื่อนที่เป็นแนวโค้งแบบวงกลม จะต้องเป็นแรงสู่ศูนย์กลาง  ดังนั้นสมการของแรงสู่ศูนย์กลางจะได้ดังนี้

จาก                         F  = ma

จะได้                      Fc   =   mac

ความเร่งที่เกิดขึ้นกับวัตถุจะมีขนาดและทิศทางเท่าไร  และอย่างไร

จากรูป 2. เมื่อมีการเปลี่ยนแปลงความเร็ว(V2 – V1)ในช่วงเวลา t  จะเกิดความเร่งของวัตถุขึ้น  โดยความเร่งจะมีทิศเข้าสู่ศูนย์กลางตลอดการเคลื่อนที่ จึงเรียกความเร่งนี้ว่า  ความเร่งสู่ศูนย์กลาง ( ac)

จะได้                     F c          =             mac

ขนาดของความเร่ง ac  จะหาได้ดังนี้

 B
 A

จากรูป 2. วัตถุมวล m  กำลังเคลื่อนที่เป็นแนวโค้งแบบวงกลม ด้วยความเร็ว V  ณ ตำแหน่ง A และตำแหน่ง B  มีขนาดความเร็ว v เท่ากัน ใช้เวลา t

รัศมีความโค้งของการเคลื่อนเป็น R

ระยะทางที่เคลื่อนที่ได้คือ

จาก         v            =                       =

t               =

จาก                         a              =

จากรูป 3. ในแนวแกน x  จะไม่เกิดความเร่ง เนื่องจาก ขนาดและทิศทางของความเร็วไม่เปลี่ยนแปลง

แต่ในแนวแกน y จะเกิดความเร่งเนื่องจากทิศทางของความเร็วเปลี่ยนไป จะได้

a              =                      =

a              =                            , เมื่อ q เป็นมุมเล็กมากๆ  จะได้ sinq = q

จะได้                                      a              =                                                     ……………………..*****

เมื่อ  q เป็นมุมเล็กมากๆ  จะได้  ความเร่ง a ที่เกิดขึ้นจะอยู่ในแนวแกน y  และมีทิศเข้าสู่ศูนย์กลาง ดังนั้นความเร่งนี้จึงเป็นความเร่งเข้าสู่ศูนย์กลาง

จะได้                                =                                                     …………………….*****

จะได้                                =             m

=                                                 …………………….*****

## การเคลื่อนที่แบบต่างๆ

เรื่องแรกเป็นการเคลื่่อนที่ แบบโพรเจกไทล์

ถ้าวัตถุกำลังเคลื่อนที่ไปในทิศหนึ่งแล้วมีแรงกระทำต่อวัตถุในทิศเดียวกับการเคลื่อนที่เดิมจะทำให้วัตถุนั้นเคลื่อนที่เร็วขึ้นและถ้าแรงนั้นมีทิศตรงข้ามกับการเคลื่อนที่จะทำให้วัตถุนั้นเคลื่อนที่ช้าลงแต่ยังคงไปในทิศเดิมซึ่งทั่งสองกรณีถือว่าเป็นการเคลื่อนที่แนวเส้นตรง   แต่ถ้ามีแรงกระทำต่อวัตถุนั้นในทิศอื่น  วัตถุนั้นจะเคลื่อนที่เป็นแนวโค้ง   เช่น   การขว้างหรื่อยิงวัตถุไปในอากาศในแนวที่เอียงไปจากแนวดิ่งขณะที่วัตถุกำลังเคลื่อนที่ไปนั้นแรงดึงดูดของโลกจะฉุดวัตถุลงในแนวดิ่งตลอดเวลาเป็นเหตุให้วัตถุนั้นเคลื่อนที่ไปในแนวโค้ง

แบบโพรเจกไทล์

คือ การเคลื่อนที่ในแนวโค้งพาราโบลา ซึ่งเกิดจากวัตถุได้รับความเร็วใน 2 แนวพร้อมกัน คือ ความเร็วในแนวราบและความเร็วในแนวดิ่ง ตัวอย่างของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์  ได้แก่ ดอกไม้ไฟ น้ำพุ การเคลื่อนที่ของลูกบอลที่ถูกเตะขึ้นจากพื้น การเคลื่อนที่ของนักกระโดดไกล